TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll * D
        

X

 [ESTADO QUÂNTICO]

A quantização de Landau na mecânica quântica é a quantização das órbitas cíclotron de partículas carregadas em campos magnéticos. Como resultado, as partículas carregadas somente podem ocupar órbitas com valores de energia discretos, denominados níveis de Landau.^[1] Os níveis de Landau são degenerados, com o número de elétrons por nível diretamente proporcional à intensidade do campo magnético aplicado. A quantização de Landau é diretamente responsável por oscilações nas propriedades eletrônicas de materiais em função do campo magnético aplicado. Esta quantização leva o nome do o físico soviético Lev Landau.^[2]

Dedução

Considere um sistema em duas dimensões de partículas não-interagentes com carga q e spin S confinadas em uma área A = L_xL_y no plano xy.

Aplica-se um campo magnético uniforme ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}}$ ao longo do eixo z. Em unidades CGS, o hamiltoniano do sistema é

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c)^{2}.}$

X

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Aqui p̂ é o operador momento canônico e Â é o potencial vetor eletromagnético, o qual é relacionado ao campo magnético por

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times {\hat {\mathbf {A} }}.\,}$

X

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Existe uma liberdade na escolha do calibre para o potencial vetor para um dado campo magnético. O hamiltoniano é invariante sob o calibre, o que significa que a adição do gradiente de um campo escalar ao A altera a fase global da função de onda por um valor correspondente ao campo escalar. Porém as propriedades físicas não são influenciadas pela escolha específica do calibre. Para simplificar os cálculos, vamos adotar o calibre de Landau, o qual diz que

${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\begin{pmatrix}0\\Bx\\0\end{pmatrix}}.}$

onde B=|B| e x̂ é a componente x do operador posição.

Neste calibre, o hamiltoniano passa a ser escrito como

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-{\frac {qB{\hat {x}}}{c}}\right)^{2}.}$

X

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O operador ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ comuta com este hamiltoniano, desde que o operador ŷ desaparece após a escolha do calibre. Então o operador ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ pode ser substituído pelo seu autovalor hk_y .

O hamiltoniano também pode ser escrito em uma maneira mais simples após notar que a frequência de cíclotron é ω_c = qB/mc, assim

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{c}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{c}}}\right)^{2}.}$

X

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Este é exatamente o hamiltoniano do oscilador harmônico quântico, exceto com o mínimo do potencial deslocado na coordenada espacial por

x₀ = hk_y/m?_c .

Para encontrar as energias, note que ao transladar o potencial do oscilador harmônico as energias não são alteradas. As energias do sistema são idênticas aquelas padrão do oscilador harmônico quântico,

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\quad n\geq 0~.}$

X

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A energia não depende do número quântico k_y, então haverá degenerescência.

Para as funções de ondas, recordamos que ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$ comuta com o hamiltoniano. Então a função de onda é dada pelo produto entre os autoestados do momento na direção y e os autoestados do oscilador harmônico ${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$ deslocados por um fator x₀ na direção x:

${\displaystyle \Psi (x,y)=e^{ik_{y}y}\phi _{n}(x-x_{0})~.}$

X

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Em suma, o estado do elétron é caracterizado por dois números quânticos, n e k_y .

Níveis de Landau

Cada conjunto de funções de onda com o mesmo valor de n é chamado de nível de Landau. Efeitos dos níveis de Landau são observados somente quando a energia térmica média é menor do que a separação entre os níveis de Landau, kT ≪ ħω_c, o que significa que o sistema tem que estar definido a baixas temperaturas e campos magnéticos intensos. Cada nível de Landau é degenerado devido ao segundo número quântico k_y, o qual pode assumir valores

${\displaystyle k_{y}={\frac {2\pi N}{L_{y}}}}$,

X

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onde N é um inteiro. Os valores permitidos para N são restritos pela condição de que o centro da força do oscilador, x₀, deve fisicamente ser definida dentro do sistema . Isto leva ao seguinte alcance para N,

${\displaystyle 0\leq N<{\frac {m\omega _{c}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.}$

X

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Para partículas com carga q = Ze, o limite superior de N pode ser escrito de maneira mais simples como razão dos fluxos magnéticos,

${\displaystyle {\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(hc/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},}$

X

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onde F₀ = h/2e o fluxo magnético quântico fundamental e F = BA é o fluxo através do sistema (com área A = L_xL_y).

Então, para partículas com spin S, o número máximo D de partículas por nível de Landau é

${\displaystyle D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}}~.}$

X

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Os resultados acima informam apenas uma ideia aproximada dos efeitos de um sistema que é definido dentro de um espaço finito. Falando estritamente, a utilização da solução padrão do oscilador harmônico é apenas válida para sistemas sem limitações na direção -x. Se o tamanho L_x é finito, as condições de fronteiras nesta direção dão origem as condições de quantização não-padrão sobre o campo magnético, envolvendo (a princípio) ambas as soluções da equação de Hermite. O enchimento destes níveis com muitos elétrons ainda é ^[3] uma área de pesquisa muito ativa. Em geral, os níveis de Landau são observados em sistemas eletrônicos, onde Z=1 and S=1/2. Enquanto o campo magnético aumenta, mais e mais elétrons preenchem cada nível de Landau. A ocupação do nível de Landau mais energético varia de completamente preenchido a completamente vazio, resultando em oscilações da suscetibilidade magnética em função da intensidade do campo magnético (ver efeito de Haas–van Alphen e Shubnikov–de Haas effect).

Se o efeito Zeeman é considerado, cada nível de Landau é dividido em um par, um para o spin up do elétron e outro para spin down do elétron. Então a ocupação de cada spin no nível de Landau é apenas a razão entre os fluxos D = F/F₀. O efeito Zeeman tem efeito significativo nos níveis de Landau já que suas escalas de energia são as mesmas, 2μ_BB = ħω . Entretanto, a energia de Fermi e a energia do estado fundamental se mantém mais ou menos da mesma forma do que em um sistema com muitos níveis cheios, uma vez que os pares divididos dos níveis de energia cancelam um ao outro quando somados.

Discussão

Esta derivação trata x e y como sendo ligeiramente assimétricos. Entretanto, pela simetria do sistema, não existe nenhuma quantidade física que distingue essas coordenadas. O mesmo resultado poderia ser obtido com a apropriada mudança entre x e y.

Além disso, a derivação acima assume que um elétron está confinado na direção-z o que é irrelevante em uma situação experimental - por exemplo na descrição de gases de elétrons em um espaço bidimensional. Ainda assim, esta hipótese não é essencial para os resultados. Se os elétrons são livres para se moverem ao longo da direção-z, a função de onda adquire um termo multiplicativo exp(ik_zz); a energia que corresponde a este movimento livre, (h k_z)²/(2m), é adicionado ao E discutido anteriormente. Este termo então preenche a separação de energia dos diferentes níveis de Landau, obscurecendo o efeito da quantização. No entanto, o movimento no plano-xy, perpendicular ao campo magnético, ainda é quantizada.

Níveis de Landau no calibre simétrico

O calibre simétrico se refere a seguinte escolha :${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-By\\Bx\\0\end{pmatrix}}}$

X

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Em termos das dimensões de comprimento e energia, o hamiltoniano pode ser escrita como

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]}$

X

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As unidades corretas podem ser recuperadas introduzindo os fatores ${\displaystyle q,c,\hbar ,\mathbf {B} }$ and ${\displaystyle m}$

Considere os seguintes operadores

${\displaystyle {\hat {a}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$

${\displaystyle {\hat {b}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$

${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]}$

X

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Estes operadores obedecem as seguintes relações de comutação

${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1}$.

Em termos dos operadores descritos acima, o hamiltoniano passa a ser escrito como

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}}$

X

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O índice do nível de Landau ${\displaystyle n}$ é o autovalor do operador ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$

A componente z do momento angular é

${\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\hbar ({\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})}$

X

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Explorando a propriedade ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0}$ escolhemos as autofunções que diagonalizam ${\displaystyle {\hat {H}}}$ e ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$. Os autovalores de ${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$ são denotados por ${\displaystyle -m\hbar }$, onde é claro que ${\displaystyle m\geq -n}$ no ${\displaystyle n}$-nível de Landau. Entretanto, pode ser arbitrariamente grande, tornando necessário para obter uma degenerescência infinita (ou uma degenerescência finita por unidade de área) exibida pelo sistema. A aplicação de ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$ aumenta o valor de ${\displaystyle m}$ por uma unidade enquanto preserva o valor de ${\displaystyle n}$, enquanto que a aplicação de simultânea de ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ aumenta o valor de ${\displaystyle n}$ e diminui o valor de ${\displaystyle m}$ por uma unidade. A analogia ao oscilador harmônico quântico fornece as seguintes soluções

${\displaystyle {\hat {H}}|n,m\rangle =E_{n}|n,m\rangle }$

X

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${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$

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${\displaystyle |n,m\rangle ={\frac {({\hat {b}}^{\dagger })^{m+n}}{\sqrt {(m+n)!}}}{\frac {({\hat {a}}^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle }$

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Cada nível de Landau tem uma degenerescência em cada orbital que é rotulado pelo número quântico k_y e ${\displaystyle m}$ nos calibres de Landau e simétrico respectivamente. A degenerescência por unidade de área é a mesma em cada nível de Landau. Pode-se verificar que os estados acima correspondem a escolha de funções de onda proporcionais à

${\displaystyle \psi _{n,m}(x,y)=\left({\frac {\partial }{\partial w}}-{\frac {\bar {w}}{4}}\right)^{n}w^{n+m}e^{-|w|^{2}/4}}$

X

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onde ${\displaystyle w=x+iy}$.

Em particular, o menor nível de Landau ${\displaystyle n=0}$ consiste de funções analíticas arbitrárias multiplicadas por uma Gaussiana, ${\displaystyle \psi (x,y)=f(w)e^{-|w|^{2}/4}}$.

X

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Efeitos da transformação de calibre

${\displaystyle {\vec {A}}\to {\vec {A}}'={\vec {A}}+{\vec {\nabla }}\lambda ({\vec {x}})}$

X

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A definição cinemática do momento é

${\displaystyle {\hat {\pi }}={\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}/c}$

X

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onde ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$ é o momento canônico. O hamiltoniano é invariante sob o calibre então ${\displaystyle \langle {\hat {\pi }}\rangle }$ e ${\displaystyle \langle {\hat {x}}\rangle }$ se mantém invariantes sob a transformação de calibre, mas ${\displaystyle \langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle }$ dependerá do calibre. Para observar o efeito da transformação de calibre no estado quântico da partícula, considere o estado com A e A' como um potencial vetor, com estados ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ e ${\displaystyle |\alpha '\rangle }$.

Como ${\displaystyle \langle {\hat {x}}\rangle }$ e ${\displaystyle \langle {\hat {\pi }}\rangle }$ são invariantes sob a transformação de calibre temos que

${\displaystyle \langle \alpha |{\hat {x}}|\alpha \rangle =\langle \alpha '|{\hat {x}}|\alpha '\rangle }$

${\displaystyle \langle \alpha |{\hat {\pi }}|\alpha \rangle =\langle \alpha '|{\hat {\pi '}}|\alpha '\rangle }$

${\displaystyle \langle \alpha |\alpha \rangle =\langle \alpha '|\alpha '\rangle }$

X

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Considere um operador ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ tal que ${\displaystyle |\alpha '\rangle ={\mathcal {G}}|\alpha \rangle }$

a partir das relações acima deduzimos que

${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\dagger }{\hat {x}}{\mathcal {G}}={\hat {x}}}$

${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\dagger }\left({\hat {p}}-{\frac {e{\hat {A}}}{c}}-{\frac {e{\vec {\nabla }}\lambda (x)}{c}}\right){\mathcal {G}}={\hat {p}}-{\frac {e{\hat {A}}}{c}}}$

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${\displaystyle {\mathcal {G}}^{\dagger }{\mathcal {G}}=1}$

a partir disso concluímos que

${\displaystyle {\mathcal {G}}=\exp \left({\frac {ie\lambda ({\vec {x}})}{\hbar c}}\right)}$

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Em física estatística e física da matéria condensada, densidade de estados (DOS, do inglês density of states) é a propriedade que quantifica quão proximamente "empacotado" em níveis de energia está um sistema mecânico quântico. Um DOS alto em um nível específico de energia significa que há muitos estados disponíveis para ocupação. Um DOS nulo, zero, significa que nenhum estado pode ser ocupado em um nível de energia.

Explanação

Ondas, partículas comportando-se como ondas, podem somente existir dentro de sistemas mecânico quânticos (MQ) se propriedades do sistema seguem a ondulação existente. Em alguns sistemas, o espaçamento interatômico e a carga atômica do material segue somente elétrons de certos comprimento de onda existentes. Em outros sistemas. a estrutura cristalina do material leva ondas a se propagar em somente uma direção, enquanto suprime a propagação de ondas em outra direção. Ondas em um sistema MQ tem comprimentos de onda específicos e podem propagar-se em direções específicas, e cada onda ocupa um diferente modo,ou estado. Devido a muitos destes estados terem o mesmos comprimentos de onda, entretanto dividirem a mesma energia, podem existir muitos estados disponíveis em certos níveis de energia, enquanto nenhum estado é disponível em outros níveis de energia.

Por exemplo, a densidade de estados para elétrons em um semicondutor é mostrada em vermelho na Fig. 2. Para elétrons na fronteira da faixa de condução, muito poucos estados estão disponíveis para o elétron ocupar. A medida que o elétron aumenta em energia, a densidade de estados do elétron aumenta e mais estados tornam-se disponíveis para ocupação. Entretanto, porque não há estados disponíveis para elétrons ocuparem dentro da faixa de abertura, elétrons na fronteira da faixa de condução devem perder pelo menos ${\displaystyle E_{g}}$ de energia de maneira a realizarem a transição a outro estado disponível.

A densidade de estados pode ser calculada para elétrons, fótons, ou fónons em sistemas MQ. É usualmente notado com um dos símbolos g, ${\displaystyle \rho }$, n, ou N. É uma função g(E) da energia interna E, na qual a expressão g(E) dE representa o número de estado com energias entre E e E+dE.

Para converter entre energia e vetor de onda, a relação específica entre E e k deve ser conhecida. Por exemplo, a fórmula para elétrons é

${\displaystyle E={\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}}$

X

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E para fótons, a fórmula é

${\displaystyle E=\hbar ck}$

X

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Pode também ser escrito como uma função da frequência angular ${\displaystyle \omega }$, a qual é proporcional à energia. A densidade de estados é usada extensivamente em física da matéria condensada, onde pode referir-se ao nível de energia dos elétrons, fótons ou fônons em um sólido cristalino. Em sólidos cristalinos, há frequentemente níveis de energia onde a densidade dos estados dos elétrons é zero, o que significa que os elétrons não podem ser excitados a estas energias. A densidade dos estados também ocorre na regra dourada de Fermi, a qual descreve quão rápido as transições mecânico quânticas ocorrem na presença de uma perturbação.

Num sistema tridimensional, a densidade de estados em espaço recíproco (espaço k) é

${\displaystyle G(k)\,dk={\frac {nV}{2\pi ^{2}}}\,k^{2}\,dk,}$

X

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onde V é o volume e n o número de pontos de ramificação que existem para um único valor de k. Estes pontos de ramificação são por exemplo o spin-acima e spin-abaixo estados para elétrons, as polarizações de fótons, e os modos longitudinais ou transversais para fônons.

Materiais cristalinos

Dado que em materiais (cristalinos), o número de escalas varia linearmente com o volume, uma diferente definição de densidade de estados é algumas vezes usada, na qual g(E) ou g(k) é o número de estados por unidade de energia (vetor onda) e por unidade de volume ou por unidade de célula da grade.

Em um material cristalino, onde os estados mecânico quânticos podem ser descritos em termos de seus vetores de onda k, a densidade dos estados como uma função de k é não dependente das propriedades do material. Das condições periódicas segue que em um volume arbitrário ${\displaystyle V=L^{3}}$, somente vetores k são mantidos satisfazendo

${\displaystyle (k_{x},k_{y},k_{z})={\frac {2\pi }{L}}(n_{x},n_{y},n_{z}),}$

X

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onde ${\displaystyle n_{i}}$ são inteiros positivos ou negativos arbitrários. Usando

${\displaystyle |k|^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2},}$

X

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pode ser derivado que para uma matriz tridimensional o número de estados G(k) dk entre k e k+dk é

${\displaystyle G(k)={\frac {Vk^{2}}{2\pi ^{2}}}}$

X

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS

para um único caso.

Em sólidos, a relação entre E e k é geralmente muito complexa e dependente do material. Se a relação é conhecida, a expressão para a densidade dos estados é

${\displaystyle g(E)=G(k(E)){\frac {dk}{dE}}.}$

X

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A relação acima é somente significativa se a energia somente depende da manitude ${\displaystyle |k|}$ do vetor k.

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X

PARA TODA FORMA DE FUNÇÃO E EQUAÇÃO EM:

A frequência de Larmor e o efeito Zeeman normal (tratamento clássico)

A precessão do vetor momento angular num campo magnético.

Consideremos o efeito de um campo magnético fraco em um electrão em movimento circular numa órbita planar.

Assumindo que o campo magnético é aplicado ao longo do eixo z e o momento angular é orientado num ângulo θ com respeito ao eixo z, conforme mostrado na figura ao lado.^[2]

O torque agindo sobre ${\displaystyle {\vec {I}}}$ é dado por

${\displaystyle {\vec {\tau }}={\vec {\mu }}\times {\vec {B}}={\vec {\mu }}\wedge {\vec {B}}}$

este é direcionado para o plano da página, na direção de ф.

Agora, o torque também é igual a taxa de variação do momento angular, então nós temos

${\displaystyle {\vec {\tau }}_{l}={\frac {d{\vec {l}}}{dt}}=\mu _{i}\wedge {\vec {B}}=\gamma _{l}{\vec {l}}\wedge {\vec {B}}}$ (X)

Mas

${\displaystyle |d{\vec {l}}|=l.\operatorname {sen} \theta .d\phi }$

Então a forma escalar da Equação (X) torna-se

${\displaystyle l.\operatorname {sen} \theta .{\frac {d\phi }{dt}}=\gamma _{l}.l.B.\operatorname {sen} \theta }$ (Z)

Definindo a velocidade precessional pela relação:

${\displaystyle \omega _{L}={\frac {d\phi }{dt}}}$

De modo que Eq (Z) torna-se

${\displaystyle \omega _{L}=\gamma _{l}B={\frac {e}{2m}}B}$

A velocidade angular ${\displaystyle \omega _{L}}$ é chamada a freqüência de Larmor.

Assim, o vetor momento angular realiza movimento de precessão em torno do eixo z na freqüência Larmor como resultado do torque produzido pela ação de um campo magnético sobre o seu momento magnético associado.

Usando a relação de Planck, a energia associada com a frequência de Larmor é

${\displaystyle \Delta E=\pm \omega _{L}\hbar =\pm {\frac {e\hbar B}{2m}}=\pm \mu _{B}B}$ (Y)

onde os sinais se referem ao sentido de orientação. Será observado que esta diferença de energia é a energia potencial de um dipolo magnético cujo momento é um magnetão de Bohr.

A energia dipolar é dada pela relação

${\displaystyle \Delta E=-{\vec {\mu }}.{\vec {B}}}$

Na (Y), o sinal positivo corresponde ao alinhamento antiparalelo enquanto o sinal negativo (menor energia) indica alinhamento paralelo.^[2]

O efeito geral desta energia associada com a freqüência de Larmor é que, se a energia de um electrão tendo um momento ${\displaystyle {\vec {\mu }}_{B}}$ é ${\displaystyle E_{o}}$ na ausência de um campo aplicado, então num campo magnético ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ele pode assumir uma das energias

${\displaystyle E_{0}\pm \mu _{B}B}$

Transições com e sem campo magnético

Assim, numa coleção de partículas atómicas idênticas do tipo discutido, um campo magnético produz um tripleto de níveis, chamado um tripleto de Lorentz cujas energias são

${\displaystyle E_{0}}$ e ${\displaystyle E_{0}\pm \mu _{B}B}$

Este fenômeno é conhecido como efeito Zeeman normal.

O efeito Zeeman é, na verdade, mais complexo do que foi apresentado no tratamento clássico. O spin do elétron é excluído no modelo clássico.

Assim, quando um campo magnético é aplicado os momentos angulares orbital e de spin realizarão movimento de precessão.

As separações do nível energético resultantes não podem ser explicadas classicamente e assim requerem um tratamento de mecânico quântico. Como consequência deste comportamento inexplicável, o efeito Zeeman mais geral, incluindo spin foi historicamente designado erradamente como o efeito Zeeman anómalo.

Hamiltoniano

O hamiltoniano total de um átomo em um campo magnético é:

${\displaystyle H=H_{0}+H_{1}=H_{0}+\sum _{\alpha }\xi ({\vec {r_{\alpha }}}){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}-\sum _{\alpha }{\vec {\mu _{\alpha }}}\cdot {\vec {B}}}$

onde ${\displaystyle H_{0}}$ é o Hamiltoniano não perturbado do átomo, e os somatórios sobre α são somatórios sobre os elétrons do átomo. O termo

${\displaystyle \xi ({\vec {r_{\alpha }}}){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}}$

é a junção LS para cada elétron (indexado por α). O somatório desaparece se há apenas um elétron. A ligação do campo magnético

${\displaystyle {\vec {\mu _{\alpha }}}\cdot {\vec {B}}={\frac {\mu _{B}}{\hbar }}(g_{L}{\vec {L}}+g_{S}{\vec {S}})\cdot {\vec {B}}}$

é a energia devida ao momento magnético μ do α-ésimo elétron. Ele pode ser escrito como somatório das contribuições do momento orbital angular e do momento angular de spin, com cada um multiplicado pelo fator g de Landé. Projetando o vetor quantidades no eixo z, o hamiltoniano pode ser escrito como

${\displaystyle H=H_{0}+\xi (r){\vec {L}}\cdot {\vec {S}}+\mu _{B}(g_{L}L_{z}+g_{s}S_{z})B_{z}\approx H_{at}+{\frac {\mu _{B}}{\hbar }}(J_{z}+S_{z})B_{z}}$

onde a aproximação resulta do fator g como ${\displaystyle g_{L}=1}$ e ${\displaystyle g_{S}\approx 2}$. O somatório sobre os elétrons foi omitido. Aqui, ${\displaystyle J_{z}=L_{z}+S_{z}}$ é o momento angular total, e a junção LS foi agrupada em ${\displaystyle H_{0}}$. O tamanho do termo interação H ' não é sempre pequeno, e pode induzir grandes efeitos no sistema. No efeito Paschen-Back, H ' não pode ser tratado como uma perturbação, já que sua magnitude é comparável (ou até maior) que o sistema ${\displaystyle H_{at}}$. O termo H ' não comuta com ${\displaystyle H_{at}}$. Em particular, ${\displaystyle S_{z}}$ não comuta com a interação spin-órbita em ${\displaystyle H_{at}}$.

O fator g de Landé

O momento magnético total não é colinear com o momento angular.

As contribuições orbital e de spin para o momento magnético são dadas por

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{l}={\frac {g_{l}.e}{2m_{o}}}.{\vec {L}}=-g_{l}.\mu _{B}{\sqrt {l(l+1)}}.{\hat {l}}}$

${\displaystyle {\vec {\mu }}_{s}={\frac {g_{s}.e}{2m_{s}}}.{\vec {S}}=-g_{s}.\mu _{B}{\sqrt {s(s+1)}}.{\hat {s}}}$

Onde ${\displaystyle g_{l}=1\;e\;g_{s}=2,004\approx 2}$

Agora, quando ${\displaystyle {\vec {L}}\;e\;{\vec {S}}}$ combinam, temos

${\displaystyle {\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}\;e\;{\vec {\mu }}={\vec {\mu }}_{l}+{\vec {\mu }}_{s}}$

${\displaystyle {\vec {\mu }}={\frac {\mu _{B}}{\hbar }}({\vec {L}}+2{\vec {S}})}$

É evidente a partir das expressões para ${\displaystyle {\vec {J}}\;e\;{\vec {\mu }}}$ que o momento magnético total não é, em geral, colinear com o momento angular total, conforme ilustrado na Figura

Dado que ${\displaystyle {\vec {L}}\;e\;{\vec {S}}}$ precessiona em torno de ${\displaystyle {\vec {J}}}$ é aparente que ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$ também precessiona em torno de ${\displaystyle {\vec {J}}}$

No entanto, o momento magnético eficaz, isto é a componente de ${\displaystyle {\vec {\mu }}}$ ao longo de ${\displaystyle {\vec {J}}}$ mantém o valor constante,

Supercondutividade

Transição da condutividade normal (esquerda) para a supercondutividade (direita). Durante a transição, o condutor repele o campo magnético e age como um diamagnético perfeito.

Supercondutores são materiais que perdem a resistência à corrente elétrica quando estão abaixo de uma determinada temperatura. O supercondutor é um diamagnético perfeito (χ_v = −1). pois ele repele todos os campos magnéticos (exceto em superfícies muito finas) devido ao Efeito Meissner. Esse efeito, que talvez seja a característica mais famosa dos supercondutores, é a causa da levitação magnética de um ímã, por exemplo, quando é colocado sobre um pedaço de supercondutor. A explicação para o fenômeno está na repulsão total dos campos magnéticos externos pelos supercondutores, o que faz com que o campo magnético interno seja nulo, desde que o campo externo aplicado não seja muito intenso.^[4]

Principais materiais diamagnéticos^[5] (O valor da susceptibilidade χ_v é adimensional)

Material	χv [x 10−5]
Supercondutor	-105
Grafite Pirolítico	-40,9
Bismuto	-16,6
Mercúrio	-2,9
Prata	-2,6
Diamante	-2,1
Chumbo	-1,8
Grafite	-1,6
Cobre	-1,0
Água	-0,91

Teoria

Em um material, normalmente os elétrons se dispõe em órbitas, sem nenhuma resistência entre elas agindo como um loop de corrente. Deste modo, poderia se dizer que em geral os efeitos do diamagnetismo seriam comuns, visto que qualquer campo magnético aplicado gerariam corrente nesses loops em oposição à carga, de um modo similar aos supercondutores, que essencialmente são diamagnéticos perfeitos. Entretanto, como os elétrons são mantidos presos às órbitas pela carga dos prótons e ainda mais pelo Princípio de Exclusão de Pauli, muitos materiais exibem o diamagnetismo mas respondem muito pouco aos campos magnéticos aplicados.

O Teorema de Bohr-Van Leewen^[6][7] prova que não pode haver paramagnetismo ou diamagnetismo em um sistema puramente clássico, Porém, a teoria clássica de Paul Langevin para o diamagnetismo nos dá a mesma previsão que a teoria quântica. A teoria clássica é dada abaixo:

Diamagnetismo de Langevin

A teoria do diamagnetismo de Langevin^[8] se aplica a materiais que contém átomos O número de revoluções por unidade de tempo é com "cascas fechadas" (ver dielétrico). Um campo magnético com intensidade B, aplicado a um elétron com carga e e massa m, dá início à precessão de Larmor com uma frequência ω = eB / 2m. O número de revoluções por unidade de tempo é ω / 2π. Então a corrente elétrica para um átomo com Z elétrons é (em unidades do SI):

${\displaystyle I=-{Ze^{2}B \over 4\pi m}}$.

O momento magnético de um loop de corrente é igual a corrente vezes a área do loop. Suponha que o campo é alinhado com o eixo z, a área média do loop pode ser dada por π(ρ²) , onde (ρ²) é a raíz quadrada da distância dos elétrons perpendiculares ao eixo z. O momento magnético é, portante:

${\displaystyle \mu =-{Ze^{2}B \over 4m}(\rho ^{2})}$.

Se a distribuição da carga é esfericamente simétrica, podemos supor que a distribuição das coordenadas x, y, z são independentes e igualmente distribuídas. Então ${\displaystyle \langle x^{2}\rangle =\langle y^{2}\rangle =\langle z^{2}\rangle ={1 \over 3}\langle r^{2}\rangle }$. Onde. ${\displaystyle \langle r^{2}\rangle }$é a raiz quadrada da distância dos elétrons até o núcleo, portanto ${\displaystyle \langle \rho ^{2}\rangle =\langle x^{2}\rangle +\langle y^{2}\rangle ={2 \over 3}\langle r^{2}\rangle }$. Se n é o número de átomos por unidade de volume, a susceptibilidade magnética do volume é, em unidades do SI:

${\displaystyle \mathrm {X} ={\mu _{0}n\mu \over B}=-{\mu _{0}e^{2}Zn \over 6m}\langle r^{2}\rangle }$